Totožnosť v matematike

Autor: Slavomír Flimmel | 17.3.2012 o 9:12 | (upravené 19.3.2012 o 18:19) Karma článku: 3,48 | Prečítané:  726x

V slovníkoch slovenského jazyka sa nerobí rozdiel medzi pojmami identita, totožnosť, zhodnosť, rovnosť, rovnakosť. V matematike zvyčajne považujeme slovo „totožnosť“ len za synonymum slov „rovnosť“ alebo „identita“ a s nimi významovo rozdielne slovo „zhodnosť“ za synonymum slov „rovnakosť“ alebo „kongruencia“. Pojem rôznosť (rozličnosť) používame ako opak pojmu totožnosť.

Pojem ekvivalencie úzko súvisí s pojmom totožnosť, dal by sa preložiť do slovenčiny ako rovnocennosť, rovnoplatnosť alebo totožnosť hodnôt. V matematike sa však tomuto pojmu dávajú aj ďalšie významy. Slovo „identita" má ten istý slovný základ ako slovo „totožnosť". Latinské slovo „idem" znamená „tenže, táže, tože, ten istý, tá istá, to isté ... zároveň, vedno, spolu ..." Z neho odvodené slovo „identidem" znamená „znovu a znovu, opäť a opäť". České a slovenské slovo „totožnosť" podobne ako latinská „identita" súvisia s ukazovaním na veci  a ich stotožňovaním („toto a toto je jedno").

Symbol „=" pre rovnosť pochádza od waleského matematika Roberta Recorda. Vo svojej knihe The Whetstone of Witte z roku 1557 vysvetľuje zavedenie nového symbolu takto:

„Abych se vyhnul únavnému opakování slov "je rovno" používám (místo nich), stejně jako to často dělám při (své) práci, dvojici rovnoběžek nebo dvě úsečky stejné délky, tedy =, protože žádné dvě věci si nemohou být více rovny."

Zaujímavým je citované vysvetlenie z dnešného pohľadu, keď dnes takto chápeme skôr zhodnosť, a nie totožnosť. Totožnosť by dnes lepšie znázorňovala jedna úsečka, alebo jeden bod (Pythagoras). Relácia identity sa niekedy označuje „I" alebo „Id".

Symbol „=" pre rovnosť (totožnosť) sa dlho nedočkal všeobecného uznania. Miesto neho boli až do 18.storočia používané symboly „||" nebo „æ" či „œ", pochádzajúce z latinského slova „aequalis" = „(je) rovné".

Totožnosť označujeme aj symbolom „≡", inokedy tento symbol považujeme za ekvivalenciu (logika), alebo kongruenciu (geometria, aritmetika). Podobne je to s ďalším symbolom „~", ktorý niekedy znamená podobnosť, inokedy ekvivalenciu alebo aj negáciu. Zhodnosť sa v matematike označuje symbolom „≡", priradenie definície symbolom „:=" a približná rovnosť symbolom „≈". Niekedy sa rozlišuje približná rovnosť zapríčinená meraním od približnosti vzniknutej zaokrúhlením. Bohužiaľ editor mi nedáva k dispozícii niektoré matematické symboly. Pojem ekvivalencie má zaužívaných najviac symbolov:  „<=>", „↔", „≡", „~" alebo „ε".

Totožnosť v stredoškolskej logike

V matematickej logike pojem totožnosť súvisí najmä s príbuzným pojmom ekvivalencia, ale v literatúre sa stretávame aj s použitím slova „identita" pre tautológie a slova „totožnosť" pre označovanie zložených výrokov.

Ekvivalencia sa chápe rôzne, a to ako:

a) jeden z operátorov, ktorý sa označuje symbolom ↔ (ale aj <=>, ≡, ~);
čítame ho „práve vtedy, keď"; platí, že výrok zložený pomocou ekvivalencie je pravdivý, ak sú obidva atomárne výroky, z ktorých je zložený, súčasne pravdivé alebo súčasne nepravdivé;

b) zložený výrok, ktorý bol utvorený pomocou operátora ekvivalencie, a to buď z atomárnych výrokov, alebo z výrokových formúl.

Ekvivalencia výrokových formúl sa dá definovať rôzne:

a) f(A ↔ B) = 1 - abs(f(A) - f(B)),

b) A ↔ B, ak pre ¥f platí f(A) = f(B),

c) tabuľkou pravdivostných hodnôt.

Pre ekvivalenciu platí veta: (A ↔ B) ↔ ((A B) & (B → A)).

V  literatúre sa niekedy odlišuje symbolické označenie ekvivalencie-operátora od ekvivalencie výrokových formúl.

Ekvivalencia výrokových formúl je:

a) reflexívna, tj. platí A ↔ A,
b) symetrická, tj. platí (A ↔ B) → (B ↔ A),
c) tranzitívna, tj. platí ((A ↔ B) & (B ↔ C)) → (A ↔ C);

Totožnosť výrokov vo význame označenia zloženého výroku vlastným menom, označuje sa symbolom = (používa sa tiež symbol ~); napr. C = (A ↔ B).

Tautológia (logická identita) je zložený výrok, ktorý je vždy pravdivý, bez ohľadu na pravdivostnú hodnotu jednotlivých atomárnych výrokov, z ktorých je zložený,
označuje sa symbolom ├ ; napr. najznámejšími tautológiami sú:

a) zákon totožnosti: B = (A → A), tj. pre ¥f platí f(B) = 1 a píšeme├ B,
b) zákon vylúčenia tretieho: A V ¬A,
c) zákon dvojitej negácie: A ↔ ¬(¬A),
d) zákon transpozície: (A → B) ↔ (¬B → ¬A),
e) de Morganove zákony: (¬A V ¬B) ↔ ¬(A & B), (¬A & ¬B) ↔ ¬(A V B),
f) Claviov zákon: (¬A → A) → A.

Dve konštanty (vlastné mená) nazývame zhodnými, ak majú rovnaký denotát a identickými, ak majú rovnaký denotát aj zmysel.

Totožnosť v stredoškolskej teórii množín

Axióma rovnosti množín: ¥A, B ((A = B) ↔ (¥a (a ε A) ↔ (a ε B)),
tj. dve množiny sa rovnajú (sú totožné) práve vtedy, keď majú tie isté prvky.

Rovnosť (identita) množín je:
a) reflexívna, tj. platí A = A,
b) symetrická, tj. platí A = B → B = A,
c) tranzitívna, tj. platí (A = B & B = C) → A = C.

Pre rovnosť množín platí: A = B ↔ ((A © B) & (B © A)), symbol "©" používam ako symbol podmnožiny.

Definícia: množiny A a B sú ekvivalentné, ak existuje bijekcia φ : A → B,
označujeme A ~ B,

Ekvivalencia množín je:
a) reflexívna, tj. platí A ~ A,
b) symetrická, tj. platí A ~ B → B ~ A,
c) tranzitívna, tj. platí (A ~ B & B ~ C) → A ~ C,

Konečné množiny sú ekvivalentné, ak majú rovnaký počet prvkov. Teória množín bola vymyslená ako teória skúmajúca nekonečné množiny. Nekonečnú množinu možno definovať ako množinu A obsahujúcu podmnožinu B ≠ A, s ktorou je ekvivalentná.
Pre základné číselné množiny (obory) platia vzťahy N ~ Z ~ Q a I ~ R.

Pri skúmaní rovnosti množín zrejme nejde o posudzovanie triviálnych tvrdení, ako napríklad {1, 2} = {1, 2}, ani o označovanie jednej množiny dvoma menami ako napr.
A = B = {1, 2}. O niečo zaujímavejšou je rovnosť nekonečných množín {1, 2, 3, 4, ...} = {I, II, III, IV, ...}, kde ide o rôzne označenie tých istých prvkov, tj. jednotlivé mená prvkov označujú ten istý denotát. Ak by sme chybne za symbolmi „1", „2", „3", „4", ... nevideli žiaden obsah a považovali ich len za mená, potom by sa ekvivalencia množín N a Z mohla zmeniť na ich rovnosť, pretože aj mená celých čísel vieme zoradiť do postupnosti: „0", „1", „-1", „2", ...

Binárna relácia z množiny A do množiny B je každá podmnožina A x B (množiny všetkých usporiadaných dvojíc [a, b], kde a ε A, b ε B).

Ak R je relácia na množine A (a, b, c ε A), hovoríme, že má vlastnosti:

a) identity, ak pre ¥a ε A platí [a, b] ε R → a = b ε A, označujeme I, alebo IdA,

b) reflexívnosti, ak pre ¥a ε A platí [a, a] ε R, tj. keď I © R,

c) symetričnosti, ak pre ¥a, b ε A platí [a, b] ε R → [b, a] ε R,

d) tranzitívnosti, ak pre ¥a, b, c ε A platí ([a, b] ε R & [b, c] ε R) → [a, c] ε R,

e) antisymetričnosti, ak pre ¥a, b ε A platí [a, b] ε R ↔ ¬ ([b, a] ε R),

R je relácia ekvivalencie na množine A, ak je reflexívna, symetrická a tranzitívna.

Na každej množine je identická relácia I zároveň reláciou ekvivalencie. Na rozdiel od neidentickej ekvivalencie je identita antisymetrická relácia. Relácia identity sa niekedy nazýva tiež diagonála.

Totožnosť v stredoškolskej algebre

Algebra pôvodne vznikla ako veda, ktorá sa zaoberá riešením rovníc. Každá rovnica je vlastne identita dvoch výrazov. Identitami sú tiež všetky mocninové, logaritmické, goniometrické a iné vzorce, ktoré využívame v stredoškolskej matematike na úpravu výrazov a riešenie rovníc, resp. nerovníc.

Ak by zmysel totožnosti bol len v rovnostiach typu „A = A", nebolo by v stredoškolskej algebre čo riešiť. O totožnosti dvoch výrazov má paradoxne zmysel hovoriť, len v prípade, ak výrazy nie sú totožné, tj. ak sú rozdielne. Totožnými sú len hodnoty, ku ktorým výrazy „mieria".

Napr. je zbytočné uvažovať nad identitou „√x = √x",
zaujímavejšia je identita „x / √x = √x";
podobne identita „log r + log s = log r + log s"  nevyjadruje nič
na rozdiel od identity „log r + log s = log r . s" a pod.

Algebrická identita sa definuje ako rovnica T1(x, y, ...) = T2 (x, y,...), kde sa obor pravdivosti P (množina všetkých koreňov rovnice) rovná definičnému oboru rovnice.
Ako príklad možno uviesť: zápis „sin (2 x) = 2 sin x . cos x"  je identitou vzhľadom k oboru reálnych čísel R, pretože obor pravdivosti rovnice P = R.

Dve rovnice nazývame ekvivalentné, ak sa rovnajú ich obory pravdivosti. Ak úpravou rovnice dostaneme ekvivalentnú rovnicu, hovoríme o ekvivalentnej úprave rovnice.

Pojem identita sa používa v lineárnej algebre na pomenovanie jednotkovej matice, tj. štvorcovej matice s jednotkami na diagonále a nulami na ostatných pozíciách. Zaujímavou je podobnosť tejto diagonály identity-matice, s diagonálou v tabuľkovom zápise identity-binárnej relácie.

 

(Pokračovanie na budúce...)


----------------

Zdroje:

1. Bartsch, H.-J. Matematické vzorce. Praha: SNTL, 1983.

2. Gahér, F. Logika pre každého. 3. vyd. Bratislava: IRIS, 2003.

3. Horák, P., Niepel, Ľ. Prehľad matematiky. Bratislava: Alfa, 1983.

4. Ivanová-Šalingová, M., Maníková, Z. Slovník cudzích slov. 2. vyd. Bratislava:
SPN, 1983.

5. Machek, V. Etymologický slovník jazyka českého. 3. vyd. Praha: Akademia, 1971.

6. Peciar Š. a kol. Slovník slovenského jazyka. Bratislava: VSAV, 1959-1968.

7. Piťová, M., Piťo, V. Slovník cudzích slov. Bratislava: Kniha-spoločník, 2001.

8. Šalát, T. a kol. Malá encyklopédia matematiky. 3. vyd. Bratislava: Obzor, 1978.

9. Špaňár, J. Latinsko-slovenský slovník. 3. vyd. Bratislava: SPN, 1983.

10. Znám, Š. a kol. Prehľad matematiky. Bratislava: Alfa, 1986.

11. http://wikipedia.org/

 

 

 

 

Páčil sa Vám tento článok? Pridajte si blogera medzi obľúbených a my Vám pošleme email keď napíše ďalší článok
Pridaj k obľúbeným

Hlavné správy

DOMOV

Voliči chcú odchod Kaliňáka a Fica z Bonaparte. Smer bez zmien bude padať ďalej

Na decembrovom straníckom sneme v Prešove bude Smer v najhoršej kondícii od svojho vzniku v roku 1999.

EKONOMIKA

Smer nechce vyšetriť ďalšiu kauzu

Za to, aby sa na financovanie predsedníctva pozrel NKÚ nehlasoval nikto zo Smeru.

ŠPORT

Kuzminovej vyšiel návrat a skončila v prvej desiatke

Víťazkou druhého šprintu sezóny sa stala Laura Dahlmeierová.


Už ste čítali?