Totožnosť v geometrii

Autor: Slavomír Flimmel | 17.3.2012 o 10:59 | (upravené 8.4.2012 o 19:37) Karma článku: 5,04 | Prečítané:  289x

Každé slovo je veľmi dôležité. Ak chceme vyjadriť nejakú myšlienku, treba veľmi pozorne vyberať slová a používať ich v správnych súvislostiach. Tento poznatok bol hlavným cieľom mojich úvah.

Totožnosť v stredoškolskej geometrii

Keď rozmýšľame nad tvarom, veľkosťou a umiestnením dvoch objektov, možno totožnosť rozdeliť na:

1. totožnosť relatívnu (čiastočnú) - napr. trojuholník a kruh majú spoločnú totožnosť útvaru alebo totožnosť množiny bodov v rovine,

2. totožnosť absolútnu (úplnú) - tú môžem ešte rozdeliť na:

a) podobnosť - absolútnu totožnosť tvaru - napr. hocijaké dve kružnice (aj s rôznymi polomermi) sú podobné,

b) zhodnosť - absolútnu totožnosť tvaru a veľkosti - napr. hocijaké dve kružnice s rovnakými polomermi (aj s rôznymi stredmi) sú zhodné,

c) totožnosť - absolútnu totožnosť tvaru, veľkosti a miesta - napr. totožné sú hocijaké dve(?) kružnice v rovine s rovnakými polomermi aj stredmi.

Z takto určených pojmov vyplýva, že totožnosť je špeciálny prípad zhodnosti a zhodnosť je špeciálny prípad podobnosti. Totožným zobrazením v rovine je napr. posunutie o nulový vektor, otočenie okolo ľubovoľného bodu o nulový uhol (ale aj o uhol k*2p, kde k ε Z) alebo zobrazenie zložené z dvoch osových súmerností s jednou a tou istou osou. Identitou je tiež rovnoľahlosť s koeficientom rovnoľahlosti h = 1.

Totožnosť a určenie

Pojem určuje sa používa v matematike vo viacerých podstatne odlišných významoch. Samotné slovo z hľadiska etymológie zrejme súvisí so slovami „uriecť" a „reč". Slovník slovenského jazyka vysvetľuje (určuje) význam slov: „určenie ... 1. stanovenie; vymedzenie ... 2. poslanie, cieľ ... určiť ... 1. (vopred) rozhodnúť o niečom, stanoviť ... 2. (skúmaním) zistiť ... určitý ... 1. presný, jasný, zreteľný ... 2. známy, ale bližšie neurčený; istý, niektorý, nejaký ... určujúci ... 1. ktorým sa niečo určuje ... 2. rozhodujúci ... stanoviť ... 1. presne určiť, vymedziť ... 2. urobiť niečo známym, zistiť ..."

Aby sme sa vyhli možným nedorozumeniam pri používaní pojmu určenie navrhujem nasledovnú matematickú klasifikáciu tohto pojmu:

1. determinácia - implicitné určenie základných pojmov axiómami,
napr. pojem priamka je určený-determinovaný Hilbertovými axiómami incidencie,

2. definícia - explicitné určenie odvodených pojmov,
napr. kružnica je určená-definovaná pomocou základných a odvodených pojmov (už predtým definovaných) ako množina bodov v rovine, ktoré sú rovnako vzdialené od daného bodu,

3. signifikácia - určenie mena pojmu, často je vytvorené z iných mien pojmov alebo má k nim vzťah,
napr. meno "priamka" je priradené pojmu priamka pre jej priamosť,

4. špecifikácia - určenie konkrétneho objektu, vlastnosti alebo vzťahu podmienkami, ktoré spĺňa práve len on sám,
napr. konkrétna kružnica je určená-špecifikovaná danými tromi nekolineárnymi bodmi, iná kružnica týmito bodmi neprechádza;
na rozdiel od definície špecifikácia nie je symetrická, tj. konkrétna kružnica neurčuje-nešpecifikuje konkrétne tri body,

5. identifikácia - určenie konkrétnych parametrov pre konkrétny objekt,
napr. kružnicu k určím-identifikujem stredom S[0,0] a polomerom r = 2 (použil som určenie definíciou),
alebo ju určím-identifikujem tromi nekolineárnymi bodmi [0,2], [-2,0], [2,0] (použil som určenie špecifikáciou),

6. nominácia - určenie (označenie) konkrétneho objektu vlastným menom,
napr. danú kružnicu určím-nominujem menom „k",

7. ostentácia - určenie pojmu alebo vlastného mena objektu ukázaním,
napr. nakreslím na tabuľu dva body a ostenzívne určím ich vlastné mená, tj. ukážem na ne a poviem: „Toto je bod A a toto je bod B";
pojem obdĺžnik ostenzívne určím tak, že ukážem na zošit a tabuľu a poviem: „Toto a toto je obdĺžnik ".

Určenia 1., 2., 3. určujú pojmy, určenia 4., 5., 6. určujú objekty a posledné 7. určenie sa týka aj pojmov aj objektov.

Klasifikácia totožnosti v geometrii

Pre správne pochopenie pojmu totožnosť v geometrii treba rozlišovať rôzne úrovne: vlastné meno objektu - objekt - pojem a jeho definícia (všeobecné určenie všeobecného objektu) - meno pojmu - všeobecné určenie konkrétneho objektu - konkrétne určenie konkrétneho objektu. Vychádzajúc z  klasifikácie určení navrhujem nasledovnú klasifikáciu pojmu totožnosť:

1. koncipujúca - totožnosť spájajúca dva objekty do jedného pojmu;
napr. ostenzívne (ukázaním) môžem pomocou dvoch objektov určiť ich spoločný pojem, tj. jednu spoločnú (spájajúcu - pojacu - pojmovú) totožnosť;
ukážem na trojuholník a obdĺžnik a poviem: „Toto a toto je mnohouholník";

2. signifikujúca - totožnosť priraďujúca pojmu mená; často sú mená tiež nositeľmi významu - súvisia s menami iných pojmov, ktoré súvisia daným pojmom;
napr. pojmu trojuholník priradíme meno "trojuholník" alebo meno "triangel", obidve mená obsahujú informáciu o troch uhlov - podstatnej vlastnosti trojuholníka;

3. definujúca - totožnosť pojmu a jeho významu, ktorý je určený definíciou;
pri základných pojmoch ide o determinovanie pojmu pomocou sústavy axióm;

4. nominujúca - totožnosť pomenovávajúca jeden objekt jedným vlastným menom a druhý objekt druhým vlastným menom;
zmysel tejto totožnosti je práve v rozlišovaní (diferencovaní) konkrétnych objektov - je nezmyselné dávať viacerým objektom jedno meno, alebo jeden objekt označiť viacerými menami;
napr. každý bod získa vlastnú totožnosť pomenovaním, jeden bod označíme menom „A" a druhý bod označíme menom „B";

5. špecifikujúca - totožnosť konkrétneho objektu a jeho všeobecného určenia;
napr. bod je určený usporiadanou dvojicou reálnych čísel [x,y] alebo priamka je určená všeobecnou rovnicou ax + by + c = 0;

6. identifikujúca - totožnosť konkrétneho objektu a jeho konkrétneho určenia;
napr. konkrétny bod A je určený konkrétnou usporiadanou dvojicou čísel [3,1] alebo konkrétna priamka p je určená konkrétnou rovnicou 2x + 3y - 5 =  0;

7. substitutívna - totožnosť dvoch konkrétnych špecifikujúcich určení jedného konkrétneho objektu;
napr. jedna priamka je určená dvoma spôsobmi: dvojicou bodov [0,0], [1,3] alebo rovnicou y = 3x;

8. ekvivalentná - totožnosť dvoch konkrétnych identifikujúcich určení jedného konkrétneho objektu;
napr. jedna priamka je určená dvoma spôsobmi: dvojicou bodov [0,0], [1,3] alebo tá istá priamka je určená inou dvojicou bodov [2,6], [-1,-3].

9. synonymická - totožnosť dvoch mien priradených jednému pojmu;
chvíľu som váhal, či ju zaradiť medzi podstatné totožnosti - jazyk matematiky však musí byť národný aj medzinárodný;
napr. polomer = rádius, otočenie = rotácia.

Tieto druhy totožností považujem za podstatné, tj. za zmysluplné. V matematike strednej školy sú dôležité úvahy o totožnostiach špecifikujúcich konkrétne objekty. Ďalej stredoškolská matematika skúma rôzne určenia jedného konkrétneho objektu a ich vzájomnú nahraditeľnosť - tj. substitutívne totožnosti. Pojem totožnosť sa môže použiť aj v ďalších súvislostiach, ale zvyčajne je to už len následok našej neznalosti, omylu alebo nesprávneho uvažovania - ako napríklad totožnosť:

10. homonymická - totožnosť dávajúca jedno meno dvom pojmom, vedie často len k ťažkostiam v dorozumievaní medzi ľuďmi;
napr. pojem incidencia raz znamená základný vzťah medzi bodmi a priamkami, v teórii grafov znamená vzťah medzi vrcholmi a hranami grafov;
v sférickej geometrii za bod považujeme dva body (antipodálne) - slovo „bod" v tomto vyjadrení má dva významy;

11. duonominálna - totožnosť dvoch vlastných mien patriacich jednému objektu, ktoré mu dáme zvyčajne omylom, keď ho najskôr z neznalosti považujeme za dva objekty;
napr. jeden bod má dve mená „A" a „B";

12. unifikujúca - totožnosť označujúca (omylom) jedným vlastným menom dva objekty;
napr. dva body majú jedno meno „A", pričom A ≠ A;

13. duplikujúca - totožnosť dvoch objektov, ktoré sú jeden objekt;
napr. zápis A = B = [1,3] chápaný ako dva body (pričom ide len o dve vlastné mená jedného bodu),
podobne zápis [1,3] = p ∩ q (p: y = 3, q: y = 3x) nie sú dva body, ale dve určenia jedného bodu;

14. idiotská - totožnosť dvoch totožných mien dvoch totožno-duplikovaných objektov (viď 13.);
napr. dva totožné body sú označené dvoma totožnými menami "A" a "A";
túto úvahu považujem za nevyhnutný dôsledok chybného uvažovania o duplikujúcej totožnosti - dostávame ešte väčší nezmysel - v skutočnosti ide o jeden bod s jedným menom.

Niekedy mám pocit, že vedci latinskými slovami len zahmlievajú pred obyčajnými ľuďmi jednoduché myšlienky a nerád by som teraz vyznel rovnako. Mojím roztriedením totožností som len chcel objasniť, ktorá totožnosť je podľa mňa zmysluplná a ktorá nie.

Zistil som, že takmer všetci matematici, ktorých poznám, nemajú problém považovať jeden geometrický objekt za skutočne viaceré (totožné) objekty. Bol som preto šťastný, keď som našiel podporu mojich názorov aspoň v literatúre.

P.Vopěnka píše:
„Hoci zápis X = Y niekedy čítame "objekt X sa rovná objektu Y" alebo "objekt X je totožný s objektom Y", vždy tým rozumieme, že znaky X, Y označujú ten istý objekt. Nejaký objekt môže byť totožný iba so sebou, a nie s nejakým iným objektom ... Nejaký objekt nám totiž môže byť daný odlišnými spôsobmi, takže spočiatku môžeme mať dojem, že ide o rôzne objekty, napríklad o objekty dva, ktoré si označíme X a Y. ... Ak však zistíme, že v oboch prípadoch ide o ten istý objekt, teda prísne vzaté, že sme sa vlastne dopustili omylu, môžeme všetko, na čo sme prišli, keď sme uvažovali zvlášť o objekte X, a tiež všetko, na čo sme prišli, keď sme uvažovali zvlášť o objekte Y, preniesť na tento jediný objekt označený znakmi X a Y."

Pekne to vyjadril aj M.Hejný:
Identita či rovnosť - to je uvedomenie si toho, že dve rôzne pomenovania znamenajú to isté. ... Zmysel identity je v tom, že umožňuje pre skúmaný objekt zvoliť to meno, to vyjadrenie, ktoré je v danom kontexte najvhodnejšie."

Paradoxne slávny francúzsky matematik J.H.Poincaré pri definícii matematiky použil opačný - filozofický - prístup: "Matematika je umenie dávať rovnaké mená rôznym veciam."

Rozmýšľaním o totožnosti som stratil rok života (v rokoch 2007-08). Keď som konečne na niečo zaujímavé prišiel, zistil som, že moje "objavy" nikoho z mojich priateľov a známych nezaujímajú. V matematickej komunite som sa stretol s odmietnutím. Takmer jediné praktické využitie z toho vzišlo, že môžem baviť spoločnosť žartami o matematikoch (ukazovaním na jednu fľašku spojeným s tvrdením, že to sú dve - totožné - fľašky) alebo filozofoch (ukazovaním na dve fľašky spojeným s tvrdením, že je to jedna fľaška). Väčšinou však mám pocit, že sa spoločnosť smeje na mojej hlúposti. Veď nerozumiem, čo je jedna a čo dva, čomu rozumie aj každé malé dieťa!

Idem radšej na dve (netotožné) pivá...

----------------

 

Zdroje:

1. Hejný, M. a kol. Teória vyučovania matematiky 2. 2.vyd. Bratislava: SPN, 1990.

2. Šalát, T. a kol. Malá encyklopédia matematiky. 3. vyd. Bratislava: Obzor, 1978.

3. Špaňár, J. Latinsko-slovenský slovník. 3. vyd. Bratislava: SPN, 1983.

4. Vopěnka, P. Úvod do matematiky v alternatívnej teórii množín. Bratislava:
Alfa, 1989.

5. Ivanová-Šalingová, M., Maníková, Z. Slovník cudzích slov. 2. vyd. Bratislava:
SPN, 1983.

6. Peciar Š. a kol. Slovník slovenského jazyka. Bratislava: VSAV, 1959-1968.

 

 

 

Páčil sa Vám tento článok? Pridajte si blogera medzi obľúbených a my Vám pošleme email keď napíše ďalší článok
Pridaj k obľúbeným

Hlavné správy

DOMOV

Voliči chcú odchod Kaliňáka a Fica z Bonaparte. Smer bez zmien bude padať ďalej

Na decembrovom straníckom sneme v Prešove bude Smer v najhoršej kondícii od svojho vzniku v roku 1999.

EKONOMIKA

Smer nechce vyšetriť ďalšiu kauzu

Za to, aby sa na financovanie predsedníctva pozrel NKÚ nehlasoval nikto zo Smeru.

ŠPORT

Kuzminovej vyšiel návrat a skončila v prvej desiatke

Víťazkou druhého šprintu sezóny sa stala Laura Dahlmeierová.


Už ste čítali?