Totožnosť a Hilbert

Autor: Slavomír Flimmel | 18.3.2012 o 9:02 | (upravené 19.3.2012 o 18:18) Karma článku: 3,96 | Prečítané:  273x

Ako stredoškolský učiteľ matematiky sa často stretávam s pre mňa ťažko pochopiteľným tvrdením, že dva geometrické objekty sú totožné. Napríklad musím učiť žiakov, že základnou vzájomnou polohou dvoch priamok je rovnobežnosť a súčasne totožnosť týchto priamok. V mojom ponímaní dve totožné priamky nie sú nikdy dve, ale jedna. Môjmu rozumu sa prieči uznať jednu priamku za prípad vzájomnej polohy dvoch priamok.

Tento prístup je veľmi zakorenený vo všetkých učebniciach matematiky, kde sa často pri zadaniach napr. dvoch bodov zdôrazňuje slovo rôzne. Ako by mohli byť dva body aj nerôzne! Viem si predstaviť dve pomenovania alebo určenia jedného bodu, ale tým sa pre mňa ešte nestanú z jedného bodu body dva.

V e-learningovom kurze som mal problém odpovedať na otázku prof.I.Lénárta: „Koľko spoločných kolmých hlavných kružníc môžu mať na guľovej ploche dve rôzne hlavné kružnice?". Viem, že sa odo mňa očakávala odpoveď - „jedna hlavná kružnica". Lenže, ak chcem byť presný, musím si všimnúť, že zadávateľ úlohy niekedy považuje jednu hlavnú kružnicu za dve (zdôraznením, aby dané hlavné kružnice boli rôzne). Keď uznám, že jedna hlavná kružnica môže byť považovaná za dve alebo viac totožných hlavných kružníc, riešením úlohy nemôže byť jedna, ale nekonečne veľa (navzájom totožných) hlavných kružníc.

Problém vidím v tom, že takto chápaná totožnosť nám neprináša nič užitočné a len vedie k ďalším otázkam, ktoré by boli inak zbytočné: Koľko prvkov má množina, ktorá obsahuje len dva navzájom totožné body? Stanú sa z jedného bodu dva body tým, že im dám dve mená? Je bod bodom, ak nemá meno? Koľko totožných bodov môže obsahovať jeden bod? Ak môže byť jeden bod považovaný za viaceré body, čo vlastne znamená slovné spojenie „jeden bod"? Môžu existovať dve totožné pomenovania nejakého bodu?

Pri hľadaní koreňov takéhoto uvažovania o totožnosti dvoch bodov som prišiel až ku D.Hilbertovi a jeho knihe Grundlagen der Geometrie (1899). Hilbert podobné formulácie vložil do samých základov euklidovskej geometrie - do jej prvých axióm. Vďaka nemu pravdepodobne vznikla otázka: „Koľko priamok prechádza dvomi rôznymi bodmi?", na ktorú neviem bez pochybností jednoznačne odpovedať.

Totožnosť a axiómy spojenia D.Hilberta

Keď na úvodných hodinách hovorím študentom o geometrii ako o exaktnej vede, kde veľmi záleží na každom slove, vždy narazím na problém Euklidových axióm. Axiómy euklidovskej geometrie tak, ako sa učia na slovenských školách, neboli pre mňa nikdy také jasné a jednoznačné, aby som ich mohol dať za príklad presnosti a exaktnosti svojim študentom. Najväčší problém mám s pochopením, prečo sa formuluje jej prvá axióma zvyčajne nasledovne:

„Každými dvoma rôznymi bodmi prechádza práve jedna priamka."

Chápem, čo chce autor povedať, ale nechápem prečo to hovorí takto zavádzajúco, prečo do znenia axiómy vkladá slovo „rôznymi". Dlho som si myslel, že je to len chyba slovenského prekladu, ale nedávno som na internete našiel originálne znenie týchto axióm od D.Hilberta a s prekvapením som čítal:

„I.1. Zwei voneinander verschiedene Punkte P und Q bestimmen stets eine Gerade g.

(Two distinct points A and B always completely determine a straight line a.)

I.2. Irgend zwei voneinander verschiedene Punkte einer Geraden bestimmen diese Gerade.

(Any two distinct points of a straight line completely determine that line.)

I.3. Auf einer Geraden gibt es stets wenigstens zwei Punkte ..."

(Upon every straight line there exist at least two points, ...)

Pri preklade Hilbertových axióm predo mnou vyvstalo naraz niekoľko problémov, ktoré všetky súvisia s pojmom totožnosť. Dajú sa stručne vyjadriť ako: bestimmen verzus inciduje, eine - nejaká verzus jediná, voneinander verschiedene verzus totožné. Počas ich riešenia som narážal na hranice možností nášho jazyka, keď som určoval určenie, rozmýšľal o menách mien (pojmov) a o podstate podstaty (totožnosti).

V mojom trápení s jednotlivými pojmami ma čiastočne upokojil L.Wittgenstein, keď som si prečítal jeho upozornenia: „Idea nám sedí na nose ako okuliare a čo vidíme, vidíme cez ne. Vôbec nám nezíde na um zložiť ich. ... Naše formy vyjadrovania nám totiž rozmanitým spôsobom bránia vidieť, že ide o celkom obyčajné veci, a posielajú nás naháňať chiméry. ... Filozofia je boj proti pobosorovaniu nášho rozumu prostriedkami nášho jazyka."

Bestimmen versus inciduje

Hilbert pri axiomatickom určovaní-determinovaní základného vzťahu medzi bodmi a priamkami (rovinami) použil slovo „bestimmen". Podľa slovníka má tieto významy: určiť, určovať, definovať, determinovať, dosadiť, vymenovať, ustanoviť, rozkázať, pohnúť, prehovoriť, namieriť, prisúdiť, charakterizovať. V autorizovanom anglickom preklade Hilbertových axióm z roku 1902 sú použité slová „completely determine", ktoré sa dajú preložiť ako „úplne určujú".

I.Hilbertova axióma (Dva jeden od druhého rozdielne body P a Q určujú-špecifikujú vždy priamku g.) určuje-determinuje základný pojem priamka. Ak by I.axióma úplne určila-determinovala pojem priamka, tento pojem by zahŕňal aj to, čo bežne nazývame úsečka. II.Hilbertova axióma (Hocijaké dva jeden od druhého rozdielne body nejakej priamky určujú-špecifikujú túto priamku.) vylučuje možnosť chápať pod pojmom priamka to, čo bežne nazývame „úsečka". Tieto dve axiómy sa nápadne podobajú prvým dvom Euklidovým axiómam, kde Euklides úsečku z I.axiómy v II.axióme ľubovoľne predĺži (na priamku).

Podobne je to s tromi bodmi a rovinou. IV.Hilbertova axióma (Tri body P, Q, R, neležiace na jednej a tej istej priamke, určujú-špecifikujú vždy rovinu.) určuje-determinuje základný pojem rovina, ktorý bez V.axiómy (Hocijaké tri body nejakej roviny, neležiace na jednej a tej istej priamke, určujú-špecifikujú túto rovinu.) zahŕňa aj to, čo bežne nazývame trojuholník. Navyše pojem rovina, ktorý by vyhovoval IV. aj V. Hilbertovej axióme, by zahŕňala aj to, čo bežne nazývame kružnica. Kružnicu vylúči až VI.Hilbertova axióma (Keď dva body P a Q nejakej priamky g ležia v nejakej rovine ρ, tak leží každý bod z g v α.).

Slovo „bestimmen" v I. a IV. Hilbertovej axióme, chápané ako „určujú-špecifikujú" konkrétny objekt (priamku alebo rovinu), prináša aj ďalší problém. Má označovať pojem, ktorý vyjadruje základný vzťah medzi pojmom bod a priamka (resp. bod a rovina) a ktorý je určený-determinovaný práve Hilbertovými axiómami.

V anglickom preklade je výklad tohto pojmu navyše zahmlený použitím symbolu pre rovnosť (totožnosť) a použitím ďalších predtým zaužívaných slov:

"Píšeme AB = a alebo BA = a. Namiesto "určujú" môžeme tiež použiť ďalšie formy vyjadrenia;  napríklad môžeme povedať A "leží na" a, A "je bod" a, a "prechádza" A "a cez" B, a "spojuje" A "a" alebo "s" B, atď."

V neskorších prekladoch a interpretáciách sa stretneme s pojmom incidencia a so symbolmi ε a množinovým € (patrí). Samotné axiómy, ktoré nazýval Hilbert axiómami spojenia („der Verknüpfung", „connection"), dnes nazývame axiómy incidencie. Okrem pojmu inciduje sa v literatúre používajú tiež vyjadrenia: patrí, existuje, jestvuje, je, je umiestnený, vedie, má, obsahuje a pod. V desiatich mne dostupných českých a slovenských slovných vyjadreniach I.axiómy incidencie sa slovo „bestimmen" prekladá 5 krát ako „prechádza" a 5 krát ako „inciduje".

Ak by sme v pôvodnej II.Hilbertovej axióme nahradili slovo „bestimmen" neskôr zaužívaným slovom „inciduje", dostanem nezmyselnú trivialitu: „Hocijaké dva body, ktoré incidujú s nejakou priamkou, incidujú s touto priamku." Podobne je to s pojmom leží: „Hocijaké dva body, ktoré ležia na nejakej priamke, ležia na tejto priamke." Zdá sa zrejmé, že Hilbertov pojem bestimmen nie je nahraditeľný (totožný) s pojmom inciduje ani pojmami prechádza - leží.

Incidencia je slovo zložené z latinských slov „in" = v, pri, na, medzi, voči (zvláštnym je 2. význam - nie, negácia) a „cado" = padať, upadať, pripadnúť. Anglické slovo „incidence" znamená výskyt, rozsah pôsobnosti, dopad, dosah, náraz, zásah, príchod, zaťaženie, pôsobnosť. Podľa slovníkov cudzích slov je „incidencia ... 1. zhoda, súvis ... 3. mat vzťah medzi dvoma útvarmi, z ktorých jeden je časťou druhého; súmiestnosť, zhodnosť ... incidovať ... rezať, prerezať" alebo „1. geom. vzťah dvoch útvarov, z ktorých jeden obsahuje druhý alebo má s druhým spoločnú časť alebo prvok".

Incidencia sa dá chápať ako binárna relácia ε © B x P υ R, ktorej „vlastnosti presne určuje osem axióm incidencie". Niekedy sa v literatúre používa symbol množinovej relácie € (patrí) súčasne aj vo význame inciduje  a rozširuje pojem incidencie aj na vzťah priamky a roviny - pre takúto incidenciu sa používa množinový symbol © (podmnožina). Dokonca sa pojem incidencie definuje (ako odvodený pojem?): „Dva podprostory afinního prostoru nazýváme incidentní, jestliže je jeden z nich podmnožinou druhého." alebo „Základní používané definice ... Leží-li bod A na přímce p, říkáme, že bod A a přímka p incidují (jsou incidentní). Podobně přímka p je incidentní s rovinou ρ, leží-li přímka p v rovině ρ.". V teórii grafov sa pojem incidencie definuje ako symetrická relácia medzi vrcholmi a hranami grafov, pri ktorej hrana incidentná naviac s dvoma vrcholmi.

Podstata pojmu incidencia z Hilbertových axióm sa najpresnejšie vyjadrí slovami „spojenie" alebo „súvis" (v neskorších vydaniach použil namiesto slova „bestimmen" slovo „zusammengehört"). Škoda, že sa pre túto reláciu nezaužívalo napríklad výstižnejšie latinské slovo „konjunkcia" alebo „koherencia".

Ak skúmame vlastnosti relácie incidencie a porovnáme ich s vlastnosťami množinových relácií patrí a je podmnožina, prídeme k podstatným rozdielom. Relácia incidencie je symetrická: Ak bod A inciduje s priamkou p, tak aj priamka p inciduje s bodom A. Pri slovenských synonymách pojmu inciduje možno o symetričnosti trochu zapochybovať: Ak bod A leží na priamke p, potom priamka p prechádza bodom A. Prečo treba používať rôzne pomenovania toho istého vzťahu? Naproti tomu množinové pojmy patrí a je podmnožina a takisto pojem určuje-špecifikuje nie sú symetrické.

Množinová relácia © (je podmnožina) je na rozdiel od relácie incidencie pre priamky a roviny reflexívna (p © p, ρ © ρ). Ak chceme pojem inciduje používať aj vo význame podmnožiny, mali by sme v axiómach používať iný pojem na vyjadrenie základného vzťahu medzi pojmom bod a priamka (resp. bod a rovina).

Eine - nejaká verzus jediná

Vyjadrenie "bestimmen eine Gerade " („completely determine a straight line") v pôvodnej I.Hilbertovej axióme možno najpresnejšie preložiť ako „nejaká (jedna z mnohých) jediná (práve jedna)". Pri interpretácii slova „eine" však možno dať dôraz na prvú zložku prekladu „nejaká" a chápať ho aj vo význame „aspoň jedna". Interpretácia „prechádza aspoň jedna priamka" sa vyskytuje vo všetkých mne dostupných českých a slovenských prekladoch.

Niektorým prekladateľom sa zdá nadbytočná podmienka pre body P a Q, aby boli „jeden od druhého rozdielne" - veď aj dvomi totožnými bodmi prechádza aspoň jedna priamka. Takýto preklad nevylučuje existenciu inej priamky, rôznej od g, ktorá je tiež takto určená (?) totožnými bodmi P a Q. Až slová „bestimmen diese" v pôvodnej II.Hilbertovej axióme chápu českí a slovenskí prekladatelia ako určenie jednoznačné, t.j. že týmito bodmi okrem „tejto" neprechádza iná priamka.

Interpretácia slov „eine" = „aspoň jedna" v prvej axióme a „diese" = „najviac jedna" v druhej axióme vedie väčšinu českých a slovenských prekladateľov k spojeniu týchto dvoch axióm do jednej slovným spojením „práve jedna".

Problém ako preložiť slovo „eine" v I.Hilbertovej axióme má ľahké riešenie, ak namiesto „inciduje" alebo „prechádza" použijeme pôvodné Hilbertove vyjadrenie „určujú-špecifikujú". Slovo „eine" netreba vôbec prekladať, pretože už pojem „určujú-špecifikujú" v sebe obsahuje interpretáciu „nejaká (jedna z mnohých) práve jedna". Vyjadrenie „X určuje-špecifikuje Y" znamená, že existuje práve jedno Y, ktoré vyhovuje podmienkam X. V slovenčine navyše na rozdiel od nemčiny či angličtiny aj samotné slovo „priamka" v sebe obsahuje interpretáciu „nejaká (jedna z mnohých) práve jedna". Tým, že je napísané s počiatočným malým písmenom „p", vyjadrujeme, že neoznačuje vlastné meno, ale pojem - je teda nejaká jedna z mnohých. Jednotné číslo slova „priamka" v nematematickej slovenčine jednoznačne určuje počet - tj. jedna = práve jedna. Problém však komplikuje matematický úzus, že aj presnejšie slovné spojenie „jedna priamka" znamená v geometrii vždy „aspoň jedna priamka".

I.axióma môže mať rozdielne znenie podľa toho, či použijeme pojem "určujú" alebo pojem „incidujú":

1. „Dva body určujú-špecifikujú priamku" alebo

2. „Každé dva body incidujú s práve jednou priamkou" (alebo „Pre každé dva body existuje práve jedna priamka, ktorá s obidvoma inciduje").

Prvá verzia je najstručnejšia, ale chýba jej kvantifikácia - Hilbert použil slovo „vždy", ja predpokladám, že kvantifikácia je už obsiahnutá v pojme „určuje-špecifikuje". Ak použijem slovné spojenie „každé dva body", môže to zvádzať k predstave existencie jedinej priamky určenej hocijakou dvojicou bodov. Až III.axióma zabezpečí, že existujú viaceré priamky.

Je možné, že problém s prekladom slova „eine" súvisí najmä s problémom bestimmen verzus inciduje (určuje verzus prechádza).

Voneinander verschiedene verzus totožné

Po uvažovaní o rovnosti (totožnosti) pojmov bestimmeninciduje a skúmaní podstaty (totožnosti) slova „eine" prichádzame k hlavnému problému tejto práce: Prečo Hilbert použil v I.axióme slová „voneinander verschiedene"? Ak môžu byť dva body jeden od druhého rozdielne (netotožné), tak môžu byť aj dva body jeden od druhého nerozdielne (totožné). Potom nerozdielne (totožné) môžu byť aj dve alebo viac priamok. Takže dané dva netotožné body neurčujú jedinú priamku, určujú aj iné priamky - všetky tie, ktoré sú s danou priamkou  totožné.

Ak chceme byť dôslední, I.Hilbertova axióma by mala znieť:

„Každými dvoma rôznymi bodmi sú určené-špecifikované (prechádzajú) len navzájom totožné priamky."

Hilbert možno chcel označením priamky vlastným menom „g" vylúčiť interpretáciu, že dvoma bodmi sú určené viaceré totožné priamky. Českí a slovenskí prekladatelia to však väčšinou po ňom nezopakovali - napriek tomu, že všetci píšu o „dvoch rozdielnych" bodoch, priamka je nimi určená „práve jedna" aj bez jej označenia vlastným menom.

Mohli by sme na chvíľu pripustiť možnosť, že slová „voneinander verschiedene" Hilbert použil len v súvislosti s pomenovaním bodov v prvej axióme. Naozaj dve rôzne mená bodov („P" a „Q") ešte nemusia znamenať dva rôzne body. V pôvodnej III.axióme autor body nepomenoval, tak možno predpokladal, že dva bezmenné body nemôžu byť dva totožné body. V protiklade s tým  však autor v pôvodnej II.axióme použil slová „voneinander verschiedene" aj bez pomenovania bodov. Navyše Hilbert slová „voneinander verschiedene" nepoužil v axiómach VI. a VII., kde boli objekty pomenované.

Nadbytočným a zahmlievajúcim sa javí použitie slova „zwei" v I.axióme - dva body nemôžu byť nerozdielne. Ak by išlo o dve mená, ich vymenovaním („P" a „Q") sa stáva zrejmým, že sú dve, netreba to zdôrazňovať slovom "zwei". Ak slovo "zwei" patrí nie menám „P" a „Q", ale bodom, netreba zdôrazňovať, že sú rozdielne. Pomenovanie priamky menom „g" tiež celkom nezabezpečuje jej jedinečnosť - ak môže mať jeden bod dve mená, môže ich mať aj priamka.

Ak Hilbert v pôvodnej II.axióme použil slová „voneinander verschiedene" aj bez pomenovania bodov, mal ich použiť aj v  pôvodnej III.axióme. Autor určite nechcel postulovať, že na ľubovoľnej priamke vždy jestvujú aspoň dva totožné body. Keď raz pripustíme možnosť, že totožné body (priamky, roviny ...) sú dva, mali by sme s touto možnosťou počítať dôsledne vždy. Všetci českí a slovenskí prekladatelia okrem M. Sekaninu v tomto D. Hilberta dôsledne opravili. Axióma podľa ich interpretácie znie: „Na každej priamke ležia aspoň dva rôzne body."

Ak chceme použiť pomenovanie bodov alebo priamok s možnosťou viacerých mien jedného objektu, Hilbertove axiómy by mala v slovenčine znieť:

„I. Pre ľubovoľné P a Q (pričom „P" a „Q" neoznačujú práve jeden bod) platí, že ak súčasne incidujú s nejakými gh, potom „g" a „h" sú označenia práve jednej priamky.
II. S každou g incidujú aspoň nejaké P a Q (pričom „P" a „Q" neoznačujú práve jeden bod)."

Prijal by tiež som symbolickú formuláciu ¥A, B € B, A ≠ B  Ε!aP : A, B € a za predpokladu, že zápis A ≠ B sa nebude čítať „A je rôzny bod od bodu B", ale „mená »A« a »B« neoznačujú práve jeden bod". Môže to však zvádzať k čítaniu ďalšej časti tvrdenia: „existuje práve jedno pomenovanie priamky a", čo nie je pravda, pretože ak môže mať bod viaceré pomenovania, môže ich mať aj priamka. Ak považujeme A a B za premenné, ani vtedy neexistuje jediná premenná a s danou vlastnosťou.

V prípade slovného vyjadrenia axióm považujem za nadbytočné používať označenie objektov vlastnými menami. Ak nepoužijem takéto označenie, je úplne zbytočné a zavádzajúce použitie slova „rôzne". Použitie slova „rôzne" vedie často ku zbytočným komplikáciám a často až k nepravdivým tvrdeniam.

Napríklad Svitek formuluje axiómy a komentár k nim:

„A1. Ak A, B € B a A ≠ B, potom existuje a € P tak, že A, B ε a.

A2. Ak A, B € B a a, b € P, pričom A ≠ B splňuje vzťah A, B ε a, b, potom a = b.

A3. Ku každej priamke a € P existujú aspoň dva rôzne body A, B € B, o ktorých platí, že A, B ε a. ... Ak axióma A1 tvrdí, že dvoma bodmi včítane splývajúcich prechádza priamka, potom axióma A2 vyzdvihuje, že dvoma bodmi prechádza najviac jedna priamka, z čoho bezprostredne nasleduje dôsledok: Ľubovoľnými dvoma rôznymi bodmi prechádza jediná priamka: t.j. priamka je jednoznačne určená dvoma rôznymi bodmi."

Autor v komentár tvrdí, že v axióme A1 môžu byť body A a B aj totožné, pričom v znení axiómy je podmienka A ≠ B. V komentári tiež nedôsledne používa slovo „rôznymi" - chýba pri axióme A2, kde je najdôležitejšie. Potom možno odvodiť tvrdenie, že aj „dvoma totožnými bodmi prechádza najviac jedna priamka", čo nie je pravda. Je možné, že išlo len o nepozornosť autora alebo chybu tlače, ale aj tak sa mi to javí príznačné. Autor chcel axiómy vylepšiť nadbytočným slovom, a len vďaka tomu vyslovil úplné nezmysly.

Problémy vzniknú aj pri preklade IV.axiómy (Tri body P, Q, R, neležiace na jednej a tej istej priamke, určujú vždy nejakú jedinú rovinu.), kde Hilbert pri bodoch nepoužil slovo „rôzne". Svitek ho opravuje použitím podmienky „A ≠ B ≠ C ≠ A". Ostatní autori okrem Kuniaka si uvedomujú, že podmienka netotožnosti bodov je nadbytočná, pretože sa dá odvodiť z nekolineárnosti týchto bodov.

V prekladoch III.axiómy (... v nejakej-každej jednej rovine existujú vždy aspoň tri body neležiace na nejakej jednej priamke), štyria autori Hilberta opravili použitím nadbytočného slova „rôzne". Zaujímavá je nedôslednosť Kuniaka, ktorý na rozdiel od IV.axiómy slovo „rôzne" nepoužil.

Nepochopiteľné je, že nikto zo štyroch autorov, ktorí opravili Hilberta v III.axióme, neurobili tak aj pri preklade VIII.axiómy (Existujú najmenej štyri body neležiace v nejakej práve jednej rovine.) a nedoplnili do znenia slovo „rôzne". Neurobil tak ani nikto z ďalších šiestich prekladateľov.

V VI.axióme až siedmi autori opravili pôvodné znenie slovom „rôzne". Naopak Klenková spolu s Hilbertom pripúšťa možnosť: „Ak dva (aj totožné) body priamky ležia v rovine, tak každý bod tejto priamky leží v danej rovine", čo je nepravda.

Pri interpretáciách VII.axiómy (Ak dve roviny a a b majú nejaký spoločný bod P, tak oni majú najmenej ešte nejaký ďalší spoločný bod Q.) sú ešte väčšie rozdiely. Štyria autori doplnili slovo „rôzne" pri rovinách a traja pri bodoch.

Dúfam, že som dostatočne na príkladoch vysvetlil, prečo som dospel k presvedčeniu, že slovo „rôzne" sa používa pri formulovaní axióm incidencie zbytočne a dokonca nesprávne.

Slovné formulácie Hilbertových axióm považujem za presnejšie, pochopiteľnejšie a krajšie bez slova „rôzne".

Revízia axióm v novších vydaniach

Po niekoľkomesačnom rozmýšľaní a diskusiách o axiómach spojenia (incidencie) z Hilbertových Grundlagen der Geometrie a tesne pred dokončením tejto práce sa mi podarilo získať zo skladu fakultnej knižnice FMFI Univerzity Komenského v Bratislave 9. vydanie z roku 1962, revidované a doplnené P.Bernaysom. Na Slovensku je to pravdepodobne jediný exemplár Hilbertovej knihy, ktorý sa nachádza v systéme verejných knižníc - aj to dobre utajený (nezaradený do internetovej databázy). Znenie niektorých axióm spojenia (incidencie) je v tomto vydaní podstatne zmenené:

„I1. Zu zwei Punkten A, B gibt es stets eine Gerade a, die mit jedem der beiden Punkte A, B zusammengehört.

I2. Zu zwei Punkten A, B gibt es nicht mehr als eine Gerade, die mit jedem der beiden Punkte A, B zusammengehört. ...

I4. Zu irgend drei nicht auf ein und derselben Geraden liegende Punkten A, B, C gibt es stets eine Ebene, die mit jedem der drei Punkte A, B, C zusammengehört. Zu jeder Ebene gibt es stets einen mit ihr zusammengehörigen Punkt. ...

I5. Zu irgend drei nicht auf ein und derselben Gerade liegenden Punkten A, B, C gibt es nicht mehr als eine Ebene, die mit jedem der drei Punkte A, B, C zusammengehört."

Ak by sa mi dostalo ako prvé do rúk citované vydanie, asi by som tento článok nenapísal. Problém „rôzne-totožné" tu neexistuje, podobne sa v novom znení nevyskytuje slovo „bestimmen". Neskôr sa mi podarilo zohnať kópiu 7.vydania z roku 1930 z pražskej knižnice, ktoré bolo totožné s 9.vydaním. Jediným zadosťučinením mi môže byť potvrdenie správnosti môjho uvažovania, ktorého výsledky nenachádzali medzi kolegami matematikmi takmer žiadnu akceptáciu.

Od začiatku štúdia problému totožnosti dvoch objektov v jednom objekte som mal pocit, že s totožnosťou v stredoškolskej geometrii je to ako so špenátom. V 19. storočí profesor Gustav von Bunge vo Švajčiarsku analyzoval sušený - a nie čerstvý - špenát a chybne určil, že sa v špenáte nachádza 10-krát viac železa ako v ostatnej zelenine. Viac ako sto rokov boli celé generácie detí nezmyselne nútené jesť špenát. V roku 1899 David Hibert v Grundlagen der Geometrie nepresne postuloval (asi z nepozornosti) prvé Euklidovské axiómy a odvtedy tieto formulácie všetci po ňom opisujú. Sto rokov deti v školách učíme, že jeden bod sú dva totožné body, že jedna priamka sú dve rovnobežky a podobne. Pritom najneskôr v 7. vydaní z roku 1930 D.Hilbert svoje nepresné formulácie opravil.

----------------

Zdroje:

Bartsch, H.-J. Matematické vzorce. Praha: SNTL, 1983.

Bečvářová, M. Euklidovy Základy, jejich vydání a překlady. Praha: Prometheus, 2002.

Bělík, M. Geometrie s didaktikou. Ústí nad Labem: UJEP, 2005.

Bukovský, L. Množiny a všeličo okolo nich. Bratislava: Alfa, 1985.

Čierna, M. a kol. Nemecko-slovenský slovník. Bratislava: SPN, 1981.

Hecht, T. a kol. Matematika pre 1. ročník gymnázií a SOŠ:  Planimetria.
Bratislava: OrbisPictusIstropolitana, 1996.

Hejný, M. a kol. Teória vyučovania matematiky 2. 2.vyd. Bratislava: SPN, 1990.

Hilbert, D. Grundlagen der Geometrie. 1.vyd. Leipzig: 1899. In www.de.wikipedia.org

Hilbert, D. Grundlagen der Geometrie. 9.vyd. Stuttgart: 1962.

Hilbert, D. The Foundations of Geometr., Illinois: 1902. autorizovaný preklad E.J.Townsenda. In www.gutenberg.org/etext/17384

Horák, P., Niepel, Ľ. Prehľad matematiky. Bratislava: Alfa, 1983.

Ivanová-Šalingová, M., Maníková, Z. Slovník cudzích slov. 2. vyd. Bratislava:
SPN, 1983.

Klenková, P. Stereometria - elementárna geometria trojrozmerného euklidovského priestoru. Bratislava: Diplomová práca FMFI UK, 2006.

Kouřim, J. a kol. Základy elementární geometrie pro učitelství 1. stupně ZŠ.
Praha: SPN, 1985.

Kuniak, M., Schewczuková Ž. Deskriptívna geometria, Košice: TU, 1991.

Lávička, M. KMA/G1 Geometrie 1. Plzeň: ZU, 2005.

Machek, V. Etymologický slovník jazyka českého. 3. vyd. Praha: Akademia, 1971.

Peciar Š. a kol. Slovník slovenského jazyka. Bratislava: VSAV, 1959-1968.

Piják, V. a kol.: Konštrukčná geometria. Bratislava: SPN, 1985.

Piťová, M., Piťo, V. Slovník cudzích slov. Bratislava: Kniha-spoločník, 2001.

Sekanina, M. a kol. Geometrie II. Praha: SPN, 1988.

Sklenáriková, Z., Čižmár, J. Elementárna geometria euklidovskej roviny.
Bratislava: UK, 2002.

Smida, J. Matematika pre 1. ročník gymnázia. 2.vyd. Bratislava: SPN, 1990.

Svitek, V. Logické základy geometrie. Bratislava: SPN, 1969.

Šalát, T. a kol. Malá encyklopédia matematiky. 3. vyd. Bratislava: Obzor, 1978.

Šedivý, J. a kol. Matematika pre gymnáziá 2. Bratislava: SPN, 1977.

Špaňár, J. Latinsko-slovenský slovník. 3. vyd. Bratislava: SPN, 1983.

Velichová, D. Konštrukčná geometria. Bratislava: STU, 2003.

Vopěnka, P. Úvod do matematiky v alternatívnej teórii množín. Bratislava:
Alfa, 1989.

Wittgenstein, L. Filozofické skúmania. Bratislava: Pravda, 1979.

Zedek, M. a kol. Matematika pre I. ročník všeobecnovzdelávacích škôl. 2.vyd. Bratislava: SPN, 1967.

Znám, Š. a kol. Prehľad matematiky. Bratislava: Alfa, 1986.

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/bookI.html#posts

http://wikipedia.org/

www.euclides.org

www.perseus.tufts.edu

 

 

 

Páčil sa Vám tento článok? Pridajte si blogera medzi obľúbených a my Vám pošleme email keď napíše ďalší článok
Pridaj k obľúbeným

Hlavné správy

DOMOV

Voliči chcú odchod Kaliňáka a Fica z Bonaparte. Smer bez zmien bude padať ďalej

Na decembrovom straníckom sneme v Prešove bude Smer v najhoršej kondícii od svojho vzniku v roku 1999.

EKONOMIKA

Smer nechce vyšetriť ďalšiu kauzu

Za to, aby sa na financovanie predsedníctva pozrel NKÚ nehlasoval nikto zo Smeru.

ŠPORT

Kuzminovej vyšiel návrat a skončila v prvej desiatke

Víťazkou druhého šprintu sezóny sa stala Laura Dahlmeierová.


Už ste čítali?