Korešpondencia o totožnosti

Autor: Slavomír Flimmel | 19.3.2012 o 17:31 | (upravené 22.3.2012 o 21:24) Karma článku: 3,74 | Prečítané:  278x

„Koľko priamok prechádza dvomi rôznymi bodmi?“ Matematici vedia, že v Euklidovskej geometrii je to práve jedna priamka. Myslím, že sa mýlia. Dvomi rôznymi bodmi prechádzajú aspoň dve navzájom totožné priamky.

Úloha profesora X.F. v e-learningovom kurze v marci 2007 vyprovokovala moje štúdium problému totožnosť. Prečítal som desiatky kníh a otravoval som mailami niekoľko docentov a profesorov matematiky. Predkladám výber z tejto korešpondencie.

Mail adresovaný profesorovi X.A. (8.6.2007):

Vážený pán profesor,
...
Napriek Vášmu zaneprázdneniu by som Vás poprosil o jednu láskavosť. Odpovedzte mi, prosím, na jedinú otázku:

Sú dva totožné body naozaj dva?

Môj názor je: Dva totožné objekty sú buď dva alebo totožné, ale nikdy nemôžu byť oboje súčasne, čiže toto slovné spojenie je nesprávne.
Presnejšie je vyjadrenie: jeden objekt má dve mená (určenia).
Včera som zažil na túto tému búrlivú debatu v aule MFI UK, kde som nedokázal presvedčiť profesora X.F. a ďalších vysokoškolských a stredoškolských kolegov ani citáciou Vašich tvrdení a tvrdení P.Vopěnku...

Odpoveď profesora X.A. (8.6.2007):
...
Problém identity je zložitý. Odpovede často závisia od konvencie, ktorú prijmeme. Nemyslím, že sa dá vaša otázka rozhodnúť spôsobom, ktorý bude prijatý v každom myšlienkovom systéme. Dôležité je, aby pri komunikácii nedochádzalo k nedorozumeniu.

Ak je na tabuli nakreslený trojuholník ABC a niekto mi povie, že tu vidí trojuholníkov 6 a to ABC, ACB, BAC, BCA, CAB a CBA, vezmem na vedomie že toto je jeho chápanie pojmu trojuholník a budem sa snažiť prispôsobiť sa mu v priebehu prípadnej diskusie. Ale pre istotu sa opýtam, či trojuholník bez pomenovania vrcholov je už iba jeden, alebo či je to opäť 6 trojuholníkov.

V diferenciálnej geometrii konca 19. storočia sa dotyčnica krivky definovala ako spojnica dvoch súmedzných bodov krivky. To je podobne konfúzny pojem, ale budem ho používať, pokiaľ mi prináša vhľad do pojmu dotyčnica a nevyvoláva protirečenia. Akonáhle k tomu dojde, budem musieť pojem upresniť.

V algebraickej geometrii sa hovorí o dvojnásobnom bode a toto pomenovanie je dobrý kompromis oboch vami uvedených krajných stanovísk. Napríklad Bernoulliho lemnoskata (osmička) je krivka, ktorá sama seba pretína a bod samoprieseku je onen dvojnásobný.

Mail adresovaný docentovi X.B. (21.9.2007):

Vážený pán docent,
...
Tri mesiace sa trápim rozmýšľaním a debatami o IDENTITE, narážam však u svojich kolegov učiteľov na nesúhlas s mojimi názormi. Obrátil som sa na radu k svojmu učiteľovi profesorovi X.A., ale ten ma pre zaneprázdnenosť odkázal na Vás.

Ide v zásade o hľadanie dôvodov, prečo matematici vždy, keď povedia "dva", musia dodať slovo "rôzne"? (Akoby mohli existovať nejaké objekty dva nerôzne.) Pre mňa boli vždy dva totožné body len dve mená alebo určenia jedného bodu. Skoro všetci ľudia, ktorých poznám, si vedia predstaviť dva totožné objekty ako skutočne dva objekty v jednom. ...

Veľmi by Ste ma potešili, keby Ste si našli chvíľu času prelistovať moju prácu a napísali mi svoj názor na daný problém.

Odpoveď docenta X.B. (22.9.2007):
...
Zbežne som si prečítal Váš text, a mám pocit, že to čo píšete je zaujímavé. Asi tušíte, že nie je moc pravdepodobné, že by sa mýlili všetci matematici počínajúc Hilbertom. Takže problém bude niekde inde.

Ono problém je v tom, že čo určuje existenciu geometrického objektu. Pokiaľ sa geometria odohrávala v priestore, bola priestorová odlišnosť dvoch bodov nutnou a postačujúcou podmienkou ich odlišnej identity. Preto pre matematiku do Riemanna a Poincarého máte naprosto pravdu. Riemann však prišiel s tým, že priestor je príliš chudobný, a existuje celý rad geometrických objektov, ktorých existenciu priestor nepripúšťa. Preto Riemann začal rozmýšľať o geometrických objektoch nezávisle od toho, či sú v priestore realizovateľné alebo nie. Napríklad päťrozmerná kocka je objekt, ktorý v priestore nie je možné realizovať, ale napriek tomu samozrejme existuje.

Ale keď máme takéto abstraktné objekty, a práve takéto objekty zaujímajú Hilberta, tak tam už názorné predstavy nemajú nijakú váhu. Tam už o objekte vieme iba to, čo o ňom povedia axiómy. Preto Hilbert začína používať jazyk pomerne čudným spôsobom.

Máte v tom naprosto pravdu, že normálne tak nikto nehovorí. V obchode nepoviete, že si prosíte dva rôzne rožky. Ale to len preto, že rožky majú telesnosť, a tak dva rožky majú jednoducho dvakrát toľko cesta, ako jeden. Preto už aj vážením zistíte kedy sa líšia.

Body však telesnosť nemajú. Preto, keď náhodne zvolím bod A a potom náhodne zvolím bod B, urobil som dve voľby bodu, ale mohol som čisto náhodou zvoliť dvakrát ten istý bod. Aby sa do tejto situácie vniesla naprostá jednoznačnosť,...

Keď čítate Hilberta, musíte zabudnúť na všetky predstavy a všetky intuície a používať smiete len to čo povie.

Ono je to podobné s tým, že sa nula považuje za prirodzene číslo. Veď to ide tiež proti zdravému rozumu. Číslo udáva počet, ale nula žiadny počet neudáva.

Takýchto príkladov je v matematike celý rad.

Myslím, že Vaša práca je po odbornej stránke dobre zdôvodnená, máte aj veľmi široký prehľad filozofickej literatúry. Preto si myslím, že by práca mala prejsť.

Ja by som ju len nestaval do roviny, že čo to robí Hilbert za podivné veci, ale skôr do roviny didaktickej, že toto sú body, ktoré môžu študentom a žiakom spôsobovať problémy.

Preto ich analýza je dôležitá a Vaša práca je skvelým príspevkom k porozumeniu veľmi dôležitého fenoménu, kde sa jazyk matematiky posunul úplne do protikladu prirodzeného chápania. Myslím, že vytvorenie katalógu takýchto príkladov je veľmi užitočná vec.

Inak tú časť, kde porovnávate terminológiu rôznych vydaní Hilberta by asi bolo možné (so stručným úvodom), teda bez tej filozofickej časti, poslať do Obzorov MFI. Mám pocit, že ste skutočne podal elegantnú analýzu veci.

Len to neťahajte do polohy, že čo nám to tu Hilbert robí za divné veci, lebo on dobre vie, čo robí a prečo. Ale je fakt, že väčšina ľudí, čo sa po Hilbertovi opičí, to už nevie. ...

Mail adresovaný profesorovi X.C. (21.9.2007):
Vážený pán profesor,
dovoľujem si Vás otravovať so svojou prácou na kvalifikačnú skúšku. Tri mesiace sa trápim rozmýšľaním a debatami o IDENTITE, narážam však u svojich kolegov učiteľov na nesúhlas s mojimi názormi. V debatách o tejto téme viac krát padlo Vaše meno - že na Slovensku Ste najväčšia matematická autorita, ktorá tento spor hravo rozhodne. Ide v zásade o hľadanie dôvodov, prečo matematici vždy, keď povedia "dva", musia dodať slovo "rôzne"? (Akoby mohli existovať nejaké objekty dva nerôzne.) Pre mňa boli vždy dva totožné body len dve mená alebo určenia jedného bodu. Skoro všetci ľudia, ktorých poznám, si vedia predstaviť dva totožné objekty ako skutočne dva objekty v jednom. ...

Odpoveď profesora X.C. (23.9.2007):
Vaša otázka nie je jednoduchá a chápem Váš problém. Nie je to problém logiky, ale, povedal by som, pragmatizmu. Neodpoviem Vám nejakou teoretickou úvahou, presne povedané nemám to domyslené a eventuálna provokácia z Vašej strany bude vítaná a donúti ma o tom premýšľať.

Uvediem len príklad, ktorý asi dostatočne vysvetli situáciu.

Máme tri (môže ich byť n) priamky p1,p2,p3 v rovine, z ktorých žiadne dve nie sú rovnobežné. Teda priamky pi, pj, i<j sa pretínajú v bode Aij. Celkove máme body A12, A13, A23. Sú to tri rôzne (podľa slovenčinárov rozličné) body alebo nie? Matematik zrejme musí povedať, že sa pretínajú v troch bodoch A12, A13, A23 a potom musí diskutovať, či tieto body sú rozličné (teda tri) alebo len dva, prípadne jeden.

Myslím si, že podobné príklady vymyslíte hravo sám. Ja by som mohol uviesť množstvo príkladov z inej oblasti podobného typu: uvažujeme objekty A1, A2, ...An; ale nemôžeme vylúčiť, že A1=A3 a podobne. Zaujíma ma Vaša reakcia a prípadne ďalšia problematika s týmto spojená.

Teda: nie je to problém logiky (cítim sa v logike odborníkom), ale problém jednoduchého označenia a pragmatickeho vyjadrovania. Ako označíte tie body? Začnete pred ich označením diskutovať o tom, ako sa tie tri priamky pretínajú? Asi nie. Jednoduchšie je hovoriť o troch bodoch a potom diskutovať, ktoré z nich sú rozličné.

Ešte raz, uvítam Váš komentár. Zaujíma ma to, je to pekná otázka.

P.S. Môj obľúbený vtip je takýto. Príde matematik do mliekárne a pýta si dva rôzne rožky. Predavačka zavolá zamrežovanú sanitku. ...

Docent X.D. - hodnotenie práce o totožnosti (14.11.2007):
Téma práce je nadčasová. Otázky o primeranom stupni presnosti jazyka (najmä školskej) matematiky budú pre učiteľov a výskumníkov vždy aktuálne a pravdepodobne nikdy sa nedočkajú definitívneho riešenia. ...

Práca má veľmi dobrú úroveň. Vysoko hodnotím autorovo zanietenie pre problém a svoje riešenie. Oceňujem ostroumnú analýzu, i keď so závermi nie vždy súhlasím.

Štylistika práce je vynikajúca, autor píše presne a napriek tomu zrozumiteľne, dokonca pútavo a vtipne.

Práca je prínosná pre samotného autora, pretože predstavuje veľké množstvo podrobne preštudovanej (nielen prečítanej!) literatúry a veľké množstvo intenzívneho premýšľania. Pre školstvo je prínosom osoba autora, pretože premýšľavých ľudí v ňom treba ako soli.

Odporúčam neklásť žiakom otázky o počte totožných kried bez kontextu. Vtedy sa naozaj dá odpovedať ľubovoľnou číslovkou. Ale napríklad, o počte totožných reálnych čísel ako koreňov algebraických rovníc hovoríme v súvislosti so stupňom rovnice.

Je vám známe, že v 6. vydaní Hilbertových Základov, ktoré spomínate na str. 15, sa hneď po axiómach I1 a I2 zdôrazňuje: „Tu ako aj ďalej pod dvomi, tromi, ... bodmi resp. priamkami, resp. rovinami vždy treba rozumieť rôzne body resp. priamky, resp. roviny." Slovo „rôzne" zdôraznil autor, v tomto prípade upravovateľ Hilbertovho textu P. Bernays.

Mail adresovaný docentovi X.D. (29.11.2007):
Vážený pán docent,

ďakujem Vám za kladné hodnotenie mojej práce.

Mnohé svoje formulácie by som rád dnes prehodnotil. Ťažisko problému totožnosti v geometrii by som určite presunul od vzťahu meno-objekt k vzťahu pojem-premenná.

Dnes už nevidím možnosť vyjadriť axiómy incidencie symbolicky bez pojmu totožnosti a rôznosti.

Stále nie som spokojný so symbolickým vyjadrením axióm. Zavrhol som obvyklú geometrickú symboliku. Musím však ešte veľa študovať modernú logiku.

Slovné vyjadrenia axióm som za posledné týždne mnohokrát prepracoval, ale zatiaľ nevidím možnosť dospieť k uspokojivo jednoznačným formuláciám. Zmieril som sa s porážkou, veď sami logici tvrdia, že nejednoznačnosť vyplýva zo samej podstaty prirodzeného jazyka. ...

Odpoveď docenta X.D. (29.11.2007):
...
Váš avizovaný odklon od priority mien objektov je mi sympatický. Ťažko som sa zmieroval s tým, že geometria (a vlastne každá veda) nehovorí nič o objektoch, ale iba o ich menách. ...

Ešte raz zdôrazňujem kladné vyjadrenie k vašej písomnej práci, hoci k niektorým jej záverom som mal výhrady. V istom zmysle súhlasím s východnou filozofiou, že nie cieľ je vždy dôležitý, ale už samotná cesta k nemu.

Z mojej obhajoby (30.11.2007):
...
Na otázku docenta X.D., čo znamená Bernaysov komentár axióm incidencie 6.vydaní Hilbertových Základov: „Tu ako aj ďalej pod dvomi, tromi, ... bodmi resp. priamkami, resp. rovinami vždy treba rozumieť rôzne body resp. priamky, resp. roviny" odpovedám, že o nič iné mi v mojej práci ani nešlo, len o toto. Hlavnou myšlienkou mojej práce je prianie, aby vždy, keď matematik povie „dve" v súvislosti s nejakými objektami-konštantami rozumel „rôzne"...

Mail adresovaný profesorovi X.C. ( 8.6.2008):
Vážený pán profesor,
dovoľujem si Vás ešte raz obťažovať svojimi problémami s pojmom totožnosť. Kvalifikačnú prácu som už pred polrokom obhájil, ale stále ma táto problematika zaujíma. Dovoľujem si s Vami nesúhlasiť, že nesúvisí s logikou. Svoje chápanie tohto pojmu ilustrujem na Vašom vtipe o rožkoch, čo prikladám v prílohe. Zaujímavé, že ten istý vtip ako Vy, mi poslal aj docent  X.B. Nie som si však istý, či mu dobre rozumiem.

Odpoveď profesora X.C. (11.6.2008):
Vážený pán kolega,
asi Vám ťažko poradím. Sú veci, ktoré nepokladám za dôležité a keďže sa vieme dohodnúť, ako ich rozumieť, tak sa s nimi nemám čas trápiť. To je aj môj postoj k totožnosti. V matematike platí dohoda, že keď poviem, že mám dva body, tak to apriori neznamená, že sú rozličné. Je to výhodné z najrôznejších dôvodov. Teda matematik by si mal pýtať dva rozličné rožky. Ale v bežnom živote platí asi iná dohoda a teda takáto komunikácia nie je adekvátna. Takže otázka totožnosti súvisí asi s kontextom.

Mail profesorovi X.C. (11.6.2008):
Vážený pán profesor,
...
Obvyklé matematické chápanie totožnosti zavádza dvojité určenie dvojitosti: iná je dvojitosť dvoch totožných bodov ako dvojitosť dvoch netotožných bodov. Na príklade slovného vyjadrenia Hilbertových axióm incidencie v 10 učebniciach geometrie som demonštroval nepraktičnosť takejto dohody. Po roku diskusií musím smutne konštatovať, že aj keď som na začiatku trúfalo kritizoval Hilberta za používanie slova "rôzne" v 1.vydaní svojich Základov z r. 1899, dnes stojí pri mne len Hilbert so svojimi neskoršími revidovanými vydaniami, kde toto slovo dôsledne odstránil....

Odpoveď profesora X.C. (11.6.2008):
...
Pokúsim sa upresniť moje stanovisko. Nespochybňujem potrebu vyjasniť to, o čo sa snažíte. Dokonca budem citovať jedného múdreho človeka (prof. John Shoenfield, počul som to na vlastne uši v roku 1972, ale asi nie je to nič nové): odmietam filozofiu, ktorá niečo zakazuje (zdá sa, že niečo veľmi podobne hovoril B.Brecht, aj keď v opačnom garde: pochyboval o filozofii, ktorá všetko jednoducho vysvetľuje). Môj postoj je v súlade s J. Shoenfieldom. Ale nemôžeme všetci všetko robiť a preto som si okruh mojej problematiky vybudoval a upresnil tak, aby som určité problémy nemal, napr. s pojmom totožnosti. V každej komunikácii hrajú úlohu určité konvencie a ja sa ich snažím vždy maximálne explicitne formulovať. Samozrejme, principiálne nie je možné to urobiť úplne. Skúste sa pozrieť na pojem totožnosti z tohoto filozofického pohľadu. Nie je absolutistický, nemusí každý s nim súhlasiť, ale asi niečo môže priniesť.

Spomeňte si na nedefinovateľnosť pravdy v jazykoch deduktívnych (A. Tarski)...

Mail adresovaný docentovi X.B. (8.6.2008):
Vážený pán docent,
dovoľujem si Vás ešte raz obťažovať mojimi problémami s pojmom totožnosť. Kvalifikačnú prácu som už pred polrokom obhájil, ale problém ma naďalej zaujíma. Najviac ma trápi, že narážam na bariéru nepochopenia a odmietania u kolegov matematikov. Pritom som presvedčený o dostatočnej sile mojich argumentov. Dá sa povedať, že so mnou súhlasili len docent X.D. a docent X.E.

Moje chápanie tohto problému ilustrujem pre žiakov gymnázia na vtipe o dvoch rožkoch, ktorý Ste spomínali vo svojom liste a poslal mi ho ako príspevok do diskusie aj profesor X.C. Len nie som si istý, či mu dobre rozumiem. (viď príloha - Vtip o rožkoch)

Odpoveď docenta X.B. (10.6.2008):
...
V zásade s Vami súhlasím, že problém pochádza zo spojenia geometrie (alebo ľubovoľného iného diškurzu - napríklad nakupovania rožkov) a logiky. Keď Gottlob Frege vytváral modernú logiku, nechal sa viesť veľmi špeciálnymi motívmi, ktoré sú často v rozpore s bežnými intuíciami, ale napriek tomu sú pre matematiku dôležité.

Ono otázka znie, čo je pre Vás bod. Keď je to vec vo vonkajšom svete, ako je to pre fyzikov, tak samozrejme, akonáhle poviete dva, tak mate dva kusy niečoho tam vonku a je zrejmé, že sú rôzne.

Ale pre modernú matematiku bod nie je niečo fyzicky existujúce, ako napríklad rožok. Je to jednoducho výsledok určitej konštrukcie, ktorú možno chápať abstraktne. A dve rôzne konštrukcie môžu viesť k tomu istému bodu. Frege uvádza priesečníky výšok v trojuholníku: bod X definujeme ako priesečník výšky va a vb, bod Y definujeme ako priesečník výšky vc a vb. Nie je vylúčené, že v nejakej dostatočne divokej geometrii by tieto body boli aj skutočne odlišné.

Každopádne, chápané ako konštrukcie sú to dva body, jeden je priesečníkom výšky na stranu a a výšky na stranu b, druhý ... Faktom však je, že v Euklidovskej geometrii výsledky týchto dvoch konštrukcií splývajú.

Keby som mal nejakú veľmi zložitú konštrukciu, v ktorej by som napred zostrojil bod X a potom bod Y, ale bez toho, aby som videl, že príslušné priamky tvoria výšky jedného trojuholníka - tá konštrukcia by mohla byt natoľko neprehľadná, že by som proste preťal dve priamky, a potom by som preťal (po päťdesiatich krokoch) ďalšie dve priamky. A potom by som pristúpil ku kroku spojme body X a Y priamkou.

Ten dodatok (dva rôzne body) ma upozorňuje, že aj keď som tie dva body dostal v rôzne dni svojej konštrukcie, musím overiť, že sú rôzne a až potom ich môžem spojiť. Je to teda akási mnemotechnická pomôcka, ktorá nás upozorňuje, že pozor, tu sa robia chyby.

Ľudia, ktorí nepoznajú matematický kontext, v ktorom takéto veci nastávajú, a prečítajú si formuláciu, že dvoma rôznymi bodmi ..., majú pocit, že matematici blbnú. Celý problém presunú do kontextu rožkov (čo je samozrejme blbosť, lebo rožky nie sú matematické objekty a tak uvedene problémy v ríši rožkov nenastávajú), a potom si myslia, že sú vtipný.

Ale faktom je, že celý rad (asi päť pokusov) chybných dôkazov piateho Euklidovho postulátu bolo spôsobené niečím veľmi podobným.

V euklidovskej geometrii sú ekvidištanty priamky (teda keď zoberiem priamku, od každého jej bodu pôjdem kolmo na jednu stranu o danú vzdialenosť a, dostanem opäť priamku). Ale v Lobačevského geometrii už ekvidištanty priamky nie sú. Viacerí matematici, medzi nimi pomerne slávny, sa pomýlili, že zostrojili ekvidištantu k danej priamke, a mysleli si, že majú priamku.

Poučenie je, že keď určité konštrukcie v našom svete systematicky vedú k identickým výsledkom (ekvidištanta je priamka, resp. priesečníkom výšok je jediný bod) nemôžeme to automaticky prenášať na iné oblasti matematiky. Môže sa stať, že v novom kontexte veci, ktoré boli pôvodne rôzne, začnú byť systematicky identické a veci, ktoré boli doteraz identické, začnú byť rôzne.

Pokiaľ robíte len Euklidovskú geometriu, asi sa moc nespletiete. Ale napríklad vo sférickej geometrii, keď zoberiete dva body, ktorých spojnica prechádza stredom sféry, tak tieto body neurčujú jedinú priamku. Vo sférickej geometrii je preto zvykom antipodálne body identifikovať. Preto keď v nejakej konštrukcii vám vyjde ako bod X jeden bod, a ako bod Y iný bod, tak to síce budú na sfére dva body (v zmysle umiestnenia na sfére), ale nebudú rôzne (z pohľadu sférickej geometrie, ktorá tieto DVA body stotožňuje a považuje ich teda za JEDEN bod).

Preto vo svete matematiky je lepšie byť opatrný. Samozrejme, je možné zotrvávať na pozícii zdravého rozumu, a všetko toto odmietať, ale myslím, že abstrakcia má tiež svoje čaro.

Mate ale pravdu, že keď tie body sú dva, tak sa ich rôznosť automaticky predpokladá. Ale iba vtedy, keď tvoria indivídua diškurzu. Príklad sférickej geometrie ukazuje, že je možné pojem bodu chápať abstraktnejšie. Za bod sférickej geometrie (teda za indivíduum teórie) možno považovať dvojicu bodov sféry (teda dva body názorného modelu tejto teórie).
...
Ešte tu je ďalší dodatočný aspekt. Ono hovoriť o dvoch bodoch znamená predpokladať aritmetiku, teda robiť geometriu závislou na aritmetike (na pojme dva). Pre Euklida, dediča pytagorejcov to nebol problém, lebo aritmetika bola tak či onak základná (to je pytagorejská viera). Ale v 19. storočí existovali dobré dôvody nepliesť číslovky do axióm geometrie, a teda to zabezpečovať nie udaním počtu bodov, ale ich rôznosti. Je možné, že aj toto spolupôsobilo, že totiž číslo ostalo z tradície vo formulácii axiómu, kým tá rôznosť sa tam dostala z predikátového poctu.

Každopádne by bolo zaujímavé sa pozrieť na to, ako tuto axiómu formulujú Euklides, Arabi, Clavius, Plaifair, Lobačevskij, Bolyai, Staudt, Hilbert, Tarski teda, že kedy sa to slovko rôzne dostalo do geometrie, a pozrieť sa tiež, že kedy sa dostalo do učebníc.

Rovnako zaujímavé by bolo pokúsiť sa nájsť ďalšie ilustrácie tohto javu, kedy sa jazyk matematiky dostáva do konfliktu so zdravým rozumom v otázke identity.

Aby som to ukončil. Ja si stále myslím, že sú dobré dôvody robiť to tak, ako sa to robí.

Dúfam, že Vám moje zmetené úvahy budú aspoň k niečomu dobré.

Mail adresovaný docentovi X.B. (10.6.2008):
Vážený pán docent,
...
1. Slovo „rôzne" v 1. Euklidovej axióme zaviedol podľa mojich zistení D.Hilbert v 1.vydaní svojich Grundlagen der Geometrie (1899). Bohužiaľ len toto vydanie a jeho anglický preklad z roku 1902 sú voľne prístupné na internete. Všetky učebnice, ktoré sa mi dostali do rúk túto nepresnosť opakujú. D.Hilbert svoje formulácie opravil v ďalších vydaniach, ktoré asi nikto nečíta, a to najneskôr v 7.vydaní v r.1930. Svoju prácu o totožnosti som začal kritikou Hilberta z r. 1899 a po roku diskusií stojí na mojej strane paradoxne len Hilbert z r. 1930. Docent X.D. ma pri obhajobe chcel nachytať Hilbertovou poznámkou pod axiómami: „Tu ako aj ďalej pod dvomi, tromi, ... bodmi resp. priamkami, resp. rovinami vždy treba rozumieť rôzne body resp. priamky, resp. roviny." Ale to je presne to, čo si želám aj ja - aby dva objekty (konštanty) vždy znamenali rôzne objekty bez toho, aby sa to muselo zdôrazňovať.

2. Nemám problém odmyslieť si fyzičnosť objektov, ale v materiálnosti objektov problém asi neväzí. Pre mňa dva totožné rožky - rovnako ako dva totožné abstraktné valce - nie sú dva, ale jeden.

3. Dôležitejšie je odmyslieť si čas. Pred rokom Ste mi napísali: „...keď náhodne zvolím bod A a potom náhodne zvolím bod B, urobil som dve voľby bodu, ale mohol som čisto náhodou zvoliť dvakrát ten istý bod. Aby sa do tejto situácie vniesla naprostá jednoznačnosť,..." Pri takomto rozmýšľaní (pripúšťajúc, že sa v geometrii čosi deje v čase) by sme mohli dospieť napr. k čudnému názoru (vymyslela jedna moja žiačka), že bodmi A a B prechádzajú práve dve priamky - jedna ide v smere AB a druhá opačne.

4. Fregeho príklad s ťažnicami je výborný na pochopenie podstaty pojmu totožnosť (mimochodom Hegel vraví, že podstatou totožnosti je podstata). Pre mňa však ťažisko trojuholníka je naďalej len jeden bod - dve (tri) sú len cesty ako ho určiť. Nemôžem nikdy tvrdiť, že trojuholník má tri ťažiská.

5. Rešpektujem známu múdrosť, že cesta je cieľ a uznávam, že totožnosti ako rôzne cesty smerujúce k jednému cieľu sú veľmi užitočné. Každý pojem je totožnosť. Každá myšlienka je totožnosť. Lenže presne opačne chápaná ako totožnosť v školskej geometrii. Zmysluplná totožnosť vidí v dvoch rôznych časových voľbách, cestách alebo určeniach jeden objekt, jeden cieľ, jeden výsledok. Keď k nemu prídem (otázne je, či sa to vždy dá), nebudem tvrdiť, že ciele sú dva len preto, že boli k nemu dve cesty.

6. V geometrii zbytočne už pri východiskách (zadaní) rozmýšľame o totožnosti a potom vymyslíme otázku, na ktorú sa nedá jednoznačne odpovedať: „Koľko priamok prechádza dvoma rôznymi bodmi?" (Keď dva body môžu byť nerôzne, aj dve priamky môžu byť nerôzne.)

7. O totožnosti rozmýšľam len v euklidovskej geometrii, pretože neeuklidovské geometrie dobre nepoznám. Neviem si však predstaviť, že by v nich bolo na niečo užitočné z jedného objektu robiť dva totožné a považovať ich naďalej za dva. Pre mňa sú dva objekty dva len do času, kedy zistím, že sú totožné (teda jeden). Samozrejme sami o sebe boli vždy jeden nezávisle od času a môjho zisťovania. Príklad s antipodálnymi bodmi je zaujímavý, ale to, že dva body považujem za jeden bod, je len problém ich nekorektného pomenovania (dvakrát použité slovo „bod" v tomto vyjadrení má dva, tj. rôzne významy).

8. Profesor X.C. ma upozorňuje na pragmatičnosť používania slova „rôzne". Sčasti súhlasím (v procese riešenia problému, nie po vyriešení), ale vo svojej práci (viď príloha - str.13 a 14) dokazujem pravý opak na všetkých dostupných českých a slovenských formuláciách euklidovsko-hilbertovských axióm incidencie.

9. Odkaz na aritmetiku je zaujímavý, ale Hilbert vo svojich axiómach používa číslovky, pretože v stručnom slovnom vyjadrení sa tomu asi nedá vyhnúť. V symbolickom vyjadrení jedinosť zabezpečuje práve vzťah totožnosti a dvojitosť zabezpečuje vzťah rôznosti. Zaujímavé, že na to prišiel už Pytagoras ktorý považoval za totožné pojmy bod = jedna = totožnosť a priamka = dva = rôznosť. Aj pre mňa totožnosť je predovšetkým jednosťou.

10. Každá zmysluplná totožnosť je aj dvojitosťou. Jednojitá totožnosť A=A nenesie žiadnu informáciu (možno len tú, že A je absolútne totožné len samo so sebou, resp. dva absolútne totožné objekty nie sú dva, ale jedno). Zaujímavejšia totožnosť je relatívna, tj. A=B, ktorá znamená dve mená (aj mená sú zvyčajne myšlienky - najmä mená pojmov) alebo dve určenia jedného objektu. Sú to proste dve cesty k jednému cieľu. Je tu dôležitejšia dvojitosť cesty alebo jednosť cieľa? Pri práci s premennými zápis A=B znamená dve premenné obsahujúce jednu konštantu. Tu je určite dôležitejšia jednosť...

Odpoveď docenta X.B. (12.6.2008):
Pôjdem postupne po jednotlivých bodoch.

1. Tá Hilbertova poznámka znamená, že používa slovo dva body ako skratku pre frázu dva rôzne body, teda myslím, že vo vydaní z roku 1930 Hilbert nijako nezmenil svoje stanovisko, iba zaviedol skratku že dva rôzne body bude jednoducho volať dva body. A koniec koncov aj vy máte vo formálnom prepise axióm, že A je rôzne od B, a ide práve o tento dovetok, ktorý u Euklida nefiguruje.

2. Dúfam, že uznáte, že polynóm (x-2)(x-2) má dva korene? Takže vidíte, že existuje kontext, kde je rozumné považovať dva identické objekty stále za dva objekty. Takže v koľkých bodoch pretína tento polynóm x-ovú os?. Je zrejmé, že to pretínanie je párneho stupňa, lebo v bode je extrém.

3. Ono práve to hovorí 1.axióma, že tá priamka idúca z A do B je tá istá ako priamka idúca z B do A. Ale keď robíte diferenciálnu geometriu a zaujímajú vás formy na priestore, tak forma AB je opačná k forme BA, presne ako hovorí vaša študentka.

To s časom je v geometrii pravda, ale napríklad v teórii rekurzie alebo v teórii dynamických systémov už nie. Proste matematika je bohatá a v niektorých kontextoch majú určité rozlíšenia zmysel, v iných nie.

4. Aj Frege tvrdí, že v prípade ťažiska ide o rôzne spôsoby konštrukcie toho istého objektu. Ale kým nedokážete, že sú totožné, musíte ich uvažovať ako rôzne. A nie je vylúčené, že existuje geometria, v ktorej aj skutočne rôzne budú.

6. Samozrejme. Rovnako, ako sa dá hrať s počtom koreňov polynómu, tak vo viacerých dimenziách sa môžete hrať s pretínaním určitej plochy (technicky termín je varieta) a roviny (technicky ide o nadrovinu). Podobne ako polynóm má niekedy viacnasobné korene, ktoré sú dôležité, lebo to, či je koreň jednoduchý alebo viacnasobný, teda či krivka prechádza tým bodom viacnásobne, má dôležité dôsledky pre správanie sa krivky (viacnasobný koreň si možno predstaviť ako splynutie dvoch rôznych koreňov); tak rovnako môže varieta pretínať nadrovinu vo viacnásobnej priamke. Takže skutočne existuje priamka, ktorá je násobná. Napríklad z  = (x-2)(x-2)y  pretína rovinu z = 0 v dvoch priamkach, z ktorých jedna je dvojnásobná.

A veď pri klasifikácii kvadrík to máte tiež, a to je stredoškolská látka. Proste kužeľosečka môže byť priamkou (keď sa rovina dotýka povrchu kužeľa). Ale priamka nemôže byť polynómom druhého stupňa, čo je kužeľosečka, inak než že tu priamku berieme dvakrát.

7. Čo sa antipodálneho bodu a vôbec celej neeuklidovskej geometrie týka, problém je v tom, že pri ich opise máme (a musíme mať) dva jazyky. Jeden euklidovsky, v ktorom opisujeme sféru, a z pohľadu ktorého ide o dva rôzne body na povrchu sféry. Ale potom sa na vec pozrieme tak, že tu sféru prehlásime za rovinu (Riemannovej geometrie) a tie body musíme stotožniť, aby sa dve priamky pretínali v jednom bode. Ono väčšina motívov pre uvažovanie dvoch totožných bodov ako dvoch pochádza z vyššej matematiky. Hilbert sa zaoberal práve neeuklidovskými geometriami a otázkou, ktoré axiómy geometrie platia v ktorej z geometrii (teda či sú tie axiómy nezávislé). Možno toto je vysvetlenie skutočnosti, prečo sa Vám nepáči. On mal inú motiváciu.

Pokiaľ budete odmietať neeuklidovské geometrie, algebraickú geometriu (kde sa uvažujú viacnasobné priesečníky kriviek), tak Vám asi budú Hilbertové slová pripadať divne, ale stále si myslím, že pre to čo robil mal dobré dôvody, a ak chcete porozumieť neeuklidovským geometriám, asi je rozumné vydať sa po nim vytýčenej ceste.

Samozrejme úplne iná otázka je otázka didaktiky. Plne s Vami súhlasím, že zbytočne metieme žiakov blbosťami, ktoré z hľadiska látky, ktorú ich učíme nemajú žiaden význam. Ja preto považujem za dôležité pozerať sa na vec historicky, aby sme uvideli, kedy vzniklo rozlíšenie "dva rôzne body". Ak vzniklo až v 19. storočí, tak bude plne stačiť, keď ho zavedieme až vtedy, keď začneme žiakov učiť matematiku 19. storočia, čo by mal byť druhý ročník na vysokej škole. Dovtedy hovoriť o dvoch rôznych bodoch je didaktická zvrhlosť.

Ale na druhej strane nemožno obviňovať ľudí ako Hilbert, že to robia, lebo pre ciele, ktoré sleduje, je to užitočné. Problém je len, že tie ciele sú dosť nedosiahnuteľné pre študentov stredných škôl. Ono skutočne asi treba napred poznať neeuklidovskú geometriu, aby človek prestal považovať Euklida za samozrejmého. Existuje krásna knižka od Couranta a Robbinsa s názvom What is mathematics, v ktorej sú viaceré pasáže z vyššej matematiky dostupne vyložené.

By the way: neviem, či poznáte Fregeho korešpondenciu s Hilbertom. Frege Hilberta v mnohom kritizoval, takže možno sa Vám to bude páčiť. Vôbec, možno by pre Vás bol Frege dobrý spojenec. Je to precízny logik a je nespokojný s matematikmi svojej doby.

Mail adresovaný docentovi X.B. (13.6.2008):
Vážený pán docent,
...
20 rokov ma učitelia matematiky učili vidieť v každom geometrickom objekte nekonečne veľa navzájom totožných objektov. Už vyše 20 rokov to musím učiť ja sám ďalšie generácie, aj keď v tom nevidím zmysluplnosť.

Pred rokom som pri kvalifikačnom e-learningovom štúdiu dostal otázku typu: „Koľko priamok prechádza dvoma rôznymi bodmi A a B?" Mohol som odpovedať, že „dvoma rôznymi bodmi A a B prechádzajú dve priamky p a q (ktoré sú navzájom nerôzne)". Takúto odpoveď považujem za adekvátnu položenej otázke.

Uznávam sebakriticky, že o matematike ako vede toho viem málo. Naozaj mi ide najmä o stredoškolskú matematiku. Kužeľosečky a komplexné čísla (kde je zaujímavé považovať každé riešenie kvadratickej rovnice za dvojité) už 3 roky nie sú povinným učivom na SŠ. Od septembra sa kvadratické rovnice presúvajú zo začiatku štúdia na jeho koniec, takže pri takejto tendencii o ďalšie 3 roky možno vypadnú z osnov aj ony.

S argumentom, že jedným z dôvodov zavedenia dvojitosti jedného je počet koreňov kvadratickej rovnice, sa stretám u matematikov najčastejšie. Počet koreňov rovnice je pre mňa počet prvkov množiny všetkých koreňov. Pri rovnici (x-2)(x-2) = 0 mi počet všetkých koreňov vychádza na číslo jeden, aj keď jeden koreň môžem nazvať dvojnásobným - takto je to uvádzané aj v učebniciach.

Na otázku ako mám chápať vtip o rožkoch mi pred 2 dňami profesorovi X.C. odpísal: „V matematike platí dohoda, že keď poviem, že mám dva body, tak to apriori neznamená, že sú rozličné. Je to výhodné z najrôznejších dôvodov. Teda matematik by si mal pýtať dva rozličné rožky. Ale v bežnom živote platí asi iná dohoda a teda takáto komunikácia nie je adekvátna."

Ja už rok intenzívne hľadám práve tú výhodnosť a stále nachádzam viac nevýhod ako výhod tejto matematickej dohody.

Sústredím sa už len na jednu oblasť - Hilbertove axiómy incidencie (viď príloha). Keď je tak dôležité vždy zdôrazňovať za slovom dva slovo rôzne ako to urobil aj Hilbert v prvých 2 axiómach (1. a 2. nemecké a 1.americké vydanie), prečo tak neurobil aj 7.axióme a najmä v 5.axióme? Mne sa to zdá fatálna chyba - keď zoberiem dva nerôzne (totožné) body A a B ako spoločné body priamky a roviny, tak všetky body priamky vôbec nemusia ležať v danej rovine. A Hilbert určite nechcel postulovať existenciu dvoch totožných bodov na každej priamke.

Keď Hilbert používa mená bodov, nechápem prečo používa aj číslovky. 1.axióma mohla znieť: „Rôznymi bodmi A a B je vždy určená priamka a."

Môže byť počet rôznych bodov A a B iný ako dva?

Tu je jadro problému - ja považujem štyri nasledovné podmienky kvantifikácie za rovnocenné (ekvivalentné):

1) dva (napr. body) A a B,

2) |{A, B}| = 2, tj. mohutnosť množiny je 2,

3) rôzne (napr. body) A a B,

4) A ≠ B.

Zápis 2) je symbolický prekladom slovného zápisu 1), podobne 4) je symbolickým prekladom 3).

Ak musí v slovnom zápise byť uvedené „dva rôzne body A a B" (teda považujem zápisy 1) a 3) za neekvivalentné), potom v symbolickom zápise musia byť uvedené obidve podmienky 2) a 4), tj. „|{A,B}| = 2 Λ A ≠ B". Keďže nie sú ekvivalentné, spojil som ich konjunkciou (Λ). Podobne treba prepísať aj kvantifikáciu „práve jedna (priamka)". Neviem, akú výhodu nám to prináša. Je to naozaj kvôli niečomu nevyhnutné?

Frege by určite upozorňoval na dobré uvedomenie si k čomu sa vzťahuje pojem „dva". Myslím, že nie k menám „A" a „B" (sú rôzne, a teda dve), ani k premenným A a B (nemá význam jednej premennej dávať rôzne, teda dve mená). Takže sa vzťahuje k hodnotám premenných A a B. Preto viem, že počet prvkov množiny bodov-konštánt je dva, tj. sú rôzne a nemôže to byť jeden bod-konštanta.

Píšete mi: „Hilbert nijako nezmenil svoje stanovisko, iba zaviedol skratku že dva rôzne body bude jednoducho volať dva body. A koniec koncov aj vy máte vo formálnom prepise axióm, že A je rôzne od B, a ide práve o tento dovetok, ktorý u Euklida nefiguruje."

Moja odpoveď: Ja v symbolickom zápise používam len kvantifikáciu typu 4) namiesto typu 2), aby som sa vyhol množinovej terminológii.

Neviem prečo Hilbert používa v axiómach číslovky, keď sa vraj chcel vyhnúť množinám a aritmetike prirodzených čísel? Mňa naozaj irituje len spojenie „dva rôzne A a B". Keď by tam nebolo „dva", bol by som spokojný.

O tom, že čosi nie je v poriadku s prvými vydaniami Hilbertových Základov, svedčí aj fakt, že ho všetci československí prekladatelia opravovali, a to každý inak. Potvrdil to aj sám Hilbert, keď axiómy prepracoval - pravdepodobne už v 3. vydaní z r. 1909 (odhadujem podľa počtu strán, pretože som nedržal v rukách všetky vydania).

Záver

Príbeh o mojom hľadaní významov pojmov „totožnosť" a „rôznosť" v matematike zatiaľ ostáva otvorený - bez happy endu. Nematematikov to nezaujíma a matematici sú s doterajším tradičným ponímaním spokojní a nezdá sa im potrebné na tom niečo meniť.

Ostáva mi len možnosť pri každej vhodnej príležitosti pýtať si od matematikov odpoveď na otázku, ktorá bola vznesená na začiatku tohto príbehu:

„Koľko priamok prechádza dvomi rôznymi bodmi?"

Po odpovedi, že v Euklidovskej geometrii je to práve jedna priamka, ich treba upozorniť, že sa mýlia. Dvomi rôznymi bodmi prechádzajú aspoň dve navzájom totožné priamky.

 

 

Páčil sa Vám tento článok? Pridajte si blogera medzi obľúbených a my Vám pošleme email keď napíše ďalší článok
Pridaj k obľúbeným

Hlavné správy

DOMOV

Voliči chcú odchod Kaliňáka a Fica z Bonaparte. Smer bez zmien bude padať ďalej

Na decembrovom straníckom sneme v Prešove bude Smer v najhoršej kondícii od svojho vzniku v roku 1999.

EKONOMIKA

Smer nechce vyšetriť ďalšiu kauzu

Za to, aby sa na financovanie predsedníctva pozrel NKÚ nehlasoval nikto zo Smeru.

ŠPORT

Kuzminovej vyšiel návrat a skončila v prvej desiatke

Víťazkou druhého šprintu sezóny sa stala Laura Dahlmeierová.


Už ste čítali?